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上海(hai)科(ke)技大學數學科(ke)學研(yan)究(jiu)所岳海(hai)天教授與合作者(zhe)最近的(de)(de)兩(liang)(liang)項研(yan)究(jiu)成果分別發表(biao)于《數學年鑒》(Annals of Mathematics) 和《數學新(xin)進(jin)展(zhan)》(Inventiones Mathematicae)，相繼徹底解(jie)決(jue)了色散方(fang)程領(ling)域(yu)懸而未決(jue)近三(san)十年的(de)(de)兩(liang)(liang)個難題(ti)：二維高(gao)階非(fei)線(xian)(xian)性薛定諤方(fang)程和三(san)維三(san)階非(fei)線(xian)(xian)性波方(fang)程下的(de)(de)吉布(bu)斯測度不變(bian)性問(wen)題(ti)。
色散偏微(wei)分(fen)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)是偏微(wei)分(fen)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)領(ling)域(yu)中最受(shou)關注的(de)研究方(fang)(fang)(fang)(fang)向(xiang)之(zhi)一。上世(shi)紀80 年代(dai)(dai)末和(he) 90 年代(dai)(dai)初(chu)菲爾(er)茲獎獲得(de)者(zhe)J. Bourgain、美國科學(xue)院院士 J. L. Lebowitz 及其合作者(zhe)們開啟了(le)(le)用(yong)概率方(fang)(fang)(fang)(fang)法研究非(fei)(fei)線(xian)性(xing)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)統計(ji)力學(xue)性(xing)質的(de)先河。由于其豐富的(de)物理和(he)數學(xue)內(nei)涵(han)，非(fei)(fei)線(xian)性(xing)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)和(he)波(bo)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)下(xia)的(de)不(bu)變(bian)(bian)(bian)吉(ji)布斯測(ce)度 (invariant Gibbs measure) 的(de)研究成(cheng)為了(le)(le)色散方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)領(ling)域(yu)最前(qian)沿熱(re)點(dian)一個方(fang)(fang)(fang)(fang)向(xiang)。繼90年代(dai)(dai)J. Bourgain 解決了(le)(le)一維和(he)二維的(de)三(san)(san)階(jie)非(fei)(fei)線(xian)性(xing)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)以及二維高階(jie)非(fei)(fei)線(xian)性(xing)波(bo)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)的(de)吉(ji)布斯測(ce)度的(de)不(bu)變(bian)(bian)(bian)性(xing)問(wen)(wen)題以后，二維高階(jie)非(fei)(fei)線(xian)性(xing)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)和(he)三(san)(san)維三(san)(san)階(jie)非(fei)(fei)線(xian)性(xing)波(bo)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)下(xia)的(de)吉(ji)布斯測(ce)度的(de)不(bu)變(bian)(bian)(bian)性(xing)問(wen)(wen)題便成(cheng)為了(le)(le)領(ling)域(yu)最亟待解決的(de)兩大難題。
2019 年(nian)(nian)，岳(yue)海天及其合作者(zhe)芝加哥大學(xue)鄧煜 、馬薩諸塞大學(xue)阿默斯特分校Andrea R. Nahmod開創性(xing)(xing)地提(ti)出(chu)了(le)隨(sui)機平均(jun)算子(zi)方(fang)法 (見圖 1)，從而徹(che)底地解(jie)決了(le)上(shang)述第一(yi)個(ge)難(nan)題。歷經五(wu)年(nian)(nian)的(de)審稿，該(gai)成果(guo)刊登于(yu)今年(nian)(nian)8月30日出(chu)版的(de)《數學(xue)年(nian)(nian)鑒(jian)》。文中還開創性(xing)(xing)地提(ti)出(chu)了(le)適定(ding)性(xing)(xing)理論的(de)概(gai)率臨界(jie)猜想，其中概(gai)率臨界(jie)的(de)概(gai)念成功地從直覺性(xing)(xing)?度(du)引(yin)領了(le)后續研究。這(zhe)一(yi)猜想的(de)提(ti)出(chu)是自1996 年(nian)(nian)J. Bourgain的(de)工作以來該(gai)領域最重要的(de)進(jin)展之一(yi)，它(ta)大力(li)地推(tui)進(jin)了(le)人們對隨(sui)機初值在非線性(xing)(xing)色散方(fang)程下演(yan)化結構的(de)理解(jie)。
圖1
隨后，上(shang)述(shu)三位作者(zhe)與(yu)合作者(zhe)普林斯(si)(si)頓大學(xue) B. Bringmann解決了前述(shu)第二個難(nan)題，即三維三階非線性波(bo)方程(cheng)(cheng)的(de)(de)吉布(bu)斯(si)(si)測度的(de)(de)不變性問題，成果發表(biao)在(zai)今年(nian)4月29日出(chu)版的(de)(de)《數學(xue)新進展》上(shang)。前述(shu)概(gai)率臨界猜(cai)想為(wei)解決該難(nan)題提(ti)供了深刻的(de)(de)洞見(jian)。在(zai)這篇(pian)長達 279 頁的(de)(de)論(lun)文(wen)中，岳海天與(yu)合作者(zhe)創造性地運用了概(gai)率論(lun)、調和分析、數論(lun)、組合數學(xue)、偏微(wei)分方程(cheng)(cheng)等數學(xue)分支中的(de)(de)隨機(ji)量(liang)子(zi)化、擬(ni)控制理(li)論(lun)、格點(dian)計數估計、隨機(ji)張量(liang)理(li)論(lun)、分子(zi)圖分析等多種(zhong)復雜技術工具從而證明了在(zai)吉布(bu)斯(si)(si)概(gai)率初(chu)值下三維三階波(bo)方程(cheng)(cheng)會(hui)按照既定(ding)結(jie)構演(yan)化 (見(jian)圖2 )。
圖2
值得(de)一(yi)提(ti)的是，岳海(hai)天及合作(zuo)者在本次發表(biao)于《數學年(nian)鑒(jian)》上(shang)的論文(wen)基礎(chu)上(shang)發展(zhan)出了(le)隨機張(zhang)量理論，從(cong)而完整地(di)解決了(le)薛定(ding)諤方(fang)程概率次臨界適定(ding)性問題。該(gai)問題也是近三十年(nian)來備(bei)受(shou)關注的難題之一(yi)，相關成果已于2021年(nian)11月發表(biao)在《數學新進展(zhan)》。
《數(shu)(shu)學新(xin)進展》和(he)《數(shu)(shu)學年(nian)鑒》均位列學界公(gong)認的(de)“四大純(chun)(chun)數(shu)(shu)學期(qi)刊”。前者創刊于1961年(nian)，致力于發表(biao)純(chun)(chun)數(shu)(shu)學各領域的(de)新(xin)突破(po)，這是(shi)(shi)岳海天第二次(ci)在該期(qi)刊上(shang)發表(biao)論(lun)文。后者創辦于 1884 年(nian)，由普林(lin)斯頓(dun)大學數(shu)(shu)學系與普林(lin)斯頓(dun)高等研究(jiu)院合作出版，每年(nian)僅接受約 30 篇文章(zhang)，在其(qi)上(shang)發文之難(nan)不言而喻。岳海天表(biao)示：“我(wo)(wo)很幸運能(neng)和(he)兩位出色的(de)數(shu)(shu)學家合作，發揮各自(zi)所長，我(wo)(wo)們的(de)文章(zhang)能(neng)夠出現(xian)在《年(nian)鑒》上(shang)是(shi)(shi)莫大的(de)榮(rong)幸，也是(shi)(shi)夢想成真(zhen)。”
岳海(hai)(hai)天(tian)于2021年加入上海(hai)(hai)科技(ji)大學，目前(qian)是數學所(suo)助(zhu)理(li)教授(shou)。“海(hai)(hai)天(tian)如(ru)此年輕就有這樣的(de)成就，我和(he)(he)上科大數學所(suo)為他感到非常自豪(hao)!”創始所(suo)長(chang)陳秀雄難掩興奮。“海(hai)(hai)天(tian)和(he)(he)他的(de)合(he)作者們在這一系列文章中創建的(de)新(xin)理(li)論，引進的(de)新(xin)方法和(he)(he)提出(chu)的(de)新(xin)猜想必將深(shen)刻的(de)影響色散方程和(he)(he)相關領域(yu)的(de)研(yan)究(jiu)。”
文章鏈接：
//link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01254-4
//annals.math.princeton.edu/2024/200-2/p01
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